Question

11．如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建设一仓库，设AB=ykm，并在公路北侧建造边长为xkm的正方形无顶中转站CDEF（其中EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60°．．
（1）求y关于x的函数解析式，并求出定义域；
（2）如果中转站四堵围墙造价为10万元/km，两条道路造价为30万元/km，问：x取何值时，该公司建设中转站围墙和两条道路总造价M最低．

Answer 1

分析 （1）在△BCF中，CF=x，∠FBC=30°，CF⊥BF，BC=2x．在△ABC中，AB=y，AC=y-1，∠ABC=60°，由余弦定理，求解函数的解析式，然后求解定义域．
（2）求出M=30•（2y-1）+40x，通过基本不等式求解表达式的最值即可．

解答 （1）在△BCF中，CF=x，∠FBC=30°，CF⊥BF，所以BC=2x．
在△ABC中，AB=y，AC=y-1，∠ABC=60°，
由余弦定理，得AC²=BA²+BC²-2BA•BCcos∠ABC，…（2分）
即 （（y-1）²=y²+（2x）²-2y•2x•cos60°，
所以  $y=\frac{4{x}^{2}-1}{2x-2}$．…（5分）
由AB-AC＜BC，得$2x＞1，x＞\frac{1}{2}$．又因为 $y=\frac{4{x}^{2}-1}{2x-2}$＞0，所以x＞1．
所以函数$y=\frac{4{x}^{2}-1}{2x-2}$的定义域是（1，+∞）．…（6分）
（2）M=30•（2y-1）+40x．…（8分）
因为$y=\frac{4{x}^{2}-1}{2x-2}$．（x＞1），所以M=30$•（2•\frac{4{x}^{2}-1}{2x-2}-1）+40x$
即 M=10$•（\frac{12{x}^{2}-3}{x-1}+4x-1）$．…（10分）
令t=x-1，则t＞0．于是M（t）=10（16t+$\frac{9}{t}+25$），t＞0，…（12分）
由基本不等式得M（t）≥10（2$\sqrt{144}+25$）=490，
当且仅当t=$\frac{3}{4}$，即x=$\frac{7}{4}$时取等号．…（15分）
答：当x=$\frac{7}{4}$km时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价M为490万元．…（16分）

点评 本题考查实际问题的应用，基本不等式求解表达式的最值，考查思想以及计算能力．