Question

13．已知函数y=2^x（0＜x＜3）的值域为A，函数y=lg[-（x+a）（x-a-2）]（其中a＞0）的定义域为B．
（1）当a=4时，求A∩B；
（2）若A⊆B，求正实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用指数函数的单调性，可得A，由对数的真数大于0，结合二次不等式的解法可得B，再由交集的定义即可得到所求；
（2）由A⊆B，可得-a≤1，且8≤a+2，且a＞0，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）函数y=2^x（0＜x＜3）的值域为A，
可得A=（1，8），
函数y=lg[-（x+a）（x-a-2）]（其中a＞0）的定义域为B，
当a=4时，可得B={x|-（x+4）（x-4-2）＞0}={x|-4＜x＜6}
=（-4，6），
即有A∩B=（1，6）；
（2）A⊆B，且B={x|-（x+a）（x-a-2）＞0}={x|-a＜x＜a+2}，
可得-a≤1，且8≤a+2，且a＞0，
即有a≥6，
则正实数a的取值范围为[6，+∞）．

点评 本题考查集合的交集的求法和集合的包含关系，同时考查函数的定义域和值域的求法，注意运用指数函数的单调性和对数函数的真数大于0以及二次不等式的解法，属于中档题．