Question

15．已知定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x），当0＜x≤1时，f（x）=2^x，则f（2017）+f（2016）=（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 运用赋值法，可得函数f（x）为周期为4的周期函数，且f（0）=0，求出f（2017）=f（1），f（2016）=f（0），代入函数的表达式求出函数值即可．

解答 解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）为奇函数，
又∵f（1+x）=f（1-x），
可得f（x+1）=-f（x-1），
即为f（x+2）=-f（x），
即有f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴函数f（x）为周期为4的周期函数，
∴f（2017）=f（504×4+1）=f（1），
由当0＜x≤1时，f（x）=2^x，
可得f（1）=2，
由f（2016）=f（504×4）=f（0）=0，
则f（2017）+f（2016）=f（1）+f（0）=2．
故选：C．

点评 本题考查了函数的奇偶性、周期性的运用，注意运用赋值法和定义法，是一道中档题．