Question

方程 

x2

4-k

+

y2

k-1

=1表示的曲线为C，给出下列四个命题：
①若1＜k＜4，则曲线C为椭圆；     
②若曲线C为双曲线，则k＜1或k＞4；
③若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜

5

2

；   
④曲线C不可能表示圆的方程．
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：据椭圆方程的特点列出不等式求出k的范围判断出①错③对，据双曲线方程的特点列出不等式求出k的范围，判断出②对；据椭圆方程的特点列出不等式求出t的范围，判断出④错．

解答：解：若C为椭圆应该满足

(4-k)(k-1)＞0 4-k≠k-1

即1＜k＜4 且k≠

5

2

故①错；
若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则

4-k＞k-1 k-1＞0

即：1＜k＜

5

2

； 故③对；
若C为双曲线应该满足（4-k）（k-1）＜0即k＞4或k＜1 故②对
若C表示圆，应该满足4-k=k-1＞0则 k=

5

2

，故④不对
故答案为：②③．

点评：椭圆方程的形式：焦点在x轴时

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，焦点在y轴时

x2

b2

+

y2

a2

=1(a＞b＞0)；双曲线的方程形式：焦点在x轴时

x2

a2

-

y2

b2

=1；焦点在y轴时

y2

b2

-

x2

a2

=1．