Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d的图象在x=1处与直线y=4+d相切，
（1）试求b，c的值；
（2）若函数f（x）有3个零点，试求d的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）通过切点图象上一点得到一个方程，再利用切线的斜率得到第二个方程，联列方程组后，求出参数b，c的值；
（2）通过求函数的单调性，和函数极大值和极小值，要求函数图象与x轴的有三个交点得到本题的解．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=x³+bx²+cx+d，
∴f'（x）=3x²+2bx+c．
∵函数f（x）=x³+bx²+cx+d的图象在x=1处与直线y=4+d相切，
∴f（1）=4+d，f'（1）=0，
即：1+b+c+d=4+d，3+2b+c=0，
∴b=-6，c=9．
（2）由（1）知：f（x）=x³-6x²+9x+d．
f'（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）
当x∈（-∞，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（1，3）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
∵函数f（x）有3个零点，
∴极大值f（1）＞0，极小值f（3）＜0．
∴-4＜d＜0．

点评：本题考查的是导数知识，利用导数研究曲线的切线，利用导数研究函数的单调性和极值．本题是关于导数知识的常规题，计算难度不大，属于中档题．