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已知函数f(x)定义在区间(-1,1)上,f()=-1,且当x,y∈(-1,1)时,恒有f(x)-f(y)=f(),又数列{an}满足a1=,an+1=,设bn=.

(Ⅰ)证明:f(x)在(-1,1)上为奇函数;

(Ⅱ)求f(an)的表达式;

(Ⅲ)是否存在自然数m,使得对任意n∈N,都有bn成立,若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由.

答案:解:(1)令x=y=0,则f(0)=0,再令x=0,得f(0)-f(y)=f(-y),所以f(-y)=-f(y),y∈(-1,1),故f(x)在(-1,1)上为奇函数.

(Ⅱ)∵f(a1)=f()=-1,

由(Ⅰ)知f(x)+f(y)=f(),

∴f(an+1)=f()=f()=f(an)+f(an)=2f(an),

=2,∴{f(an)}是以-1为首项,2为公比的等比数列,从而有f(an)=-2n-1.

(10)先求bn的表达式,bn=-(1+

若bn恒成立(n∈N+),则-2+-2,即m>

∵n∈N+,∴当n=1时,有最大值4,故m>4.

又∵m∈N

∴存在m=5,使得对任意n∈N+,都有bn成立.

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(A)

(B)

(C)

(D)

 

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