Question

已知的图像过原点，且在点处的切线与轴平行，对任意，都有.
(1)求函数在点处切线的斜率；
(2)求的解析式；
(3)设，对任意，都有.求实数的取值范围.

Answer 1

（1）1；（2）；（3）.

试题分析：（1）先根据导数的几何意义，知所求切线的斜率为，然后根据：对任意，都有，即可得到，进而可得；（2）先由函数图像过原点确定，进而由导数的几何意义与（1）中的导数值，可列出方程组即，解出，代入不等式得到，该不等式恒成立，可得，从中就可以确定的值，进而可写出函数的解析式；（3）先将：对任意，都有等价转化为，先利用导数求出函数的最大值为，于是变成了对恒成立问题，采用分离参数法得到时，恒成立，进一步等价转化为，进而再利用导数确定函数的最值即可.
试题解析：（1）根据导数的几何意义可知，函数在点处切线的斜率就是
因为对任意，都有
所以
所以即函数在点处切线的斜率为1
（2）依题意知，而
因为函数的图像在点处的切线与轴平行
所以     ①
而       ②
由①②可解得
因为对任意，都有即恒成立

所以
（3）由（2）得
所以
当时，，此时函数单调递减，此时
当时，，此时函数单调递增，此时
因为
所以当时，
因为对任意，都有
所以，都有即，所以
令
所以
关注到，当时，，此时单调递减
当时，，此时单调递增
所以
所以.