Question

1．在△ABC中，点D满足$\overrightarrow{BD}=\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$，当点E在射线AD（不含点A）上移动时，若$\overrightarrow{AE}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$，则$λ+\frac{1}{μ}$的最小值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，利用$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{AD}$，再利用$\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{AE}$，求出λ与μ，利用基本不等式求出$λ+\frac{1}{μ}$的最小值．

解答 解：如图所示，
△ABC中，$\overrightarrow{BD}=\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$，
又点E在射线AD（不含点A）上移动，
设$\overrightarrow{AE}$=k$\overrightarrow{AD}$，k＞0，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\frac{k}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3k}{4}$$\overrightarrow{AC}$，
又$\overrightarrow{AE}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{k}{4}}\\{μ=\frac{3k}{4}}\end{array}\right.$，
∴$λ+\frac{1}{μ}$=$\frac{k}{4}$+$\frac{4}{3k}$≥2$\sqrt{\frac{k}{4}•\frac{4}{3k}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，当且仅当k=$\frac{4}{\sqrt{3}}$时取“=”；
∴λ+$\frac{1}{μ}$的最小值为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了平面向量的线性运算与基本不等式的应用问题，是基础题目．