Question

16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin（x-A）（x∈R）在$x=\frac{11π}{12}$处取得最小值．
（1）求角A的大小．
（2）若a=7且sinB+sinC=$\frac{13\sqrt{3}}{14}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得f（x）=sin（2x-A），由已知及正弦函数的性质可得2×$\frac{11π}{12}$-A=2kπ+$\frac{3π}{2}$，结合A的范围即可得解A的值．
（2）由已知及正弦定理得$sinB+sinC=\frac{b+c}{a}sinA$，解得b+c=13，由余弦定理可得bc=40，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵f（x）=2cosxsin（x-A）=2cosx（sinxcosA-cosxsinA）+sinA=2sinxcosxcosA-2cos²xsinA+sinA=sin2xcosA-cos2xsinA=sin（2x-A），
∵$f（x）在x=\frac{11π}{12}处取得最小值$，
∴$2×\frac{11π}{12}-A=2kπ+\frac{3π}{2}，其中k∈Z，即A=\frac{π}{3}+2kπ，k∈Z$，
∵A∈（0，π），
∴$A=\frac{π}{3}$．-----------------（6分）
（2）由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，得$sinB+sinC=\frac{b+c}{a}sinA$．…（8分）
即$\frac{13\sqrt{3}}{14}$=$\frac{b+c}{7}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
可得：b+c=13，
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得：a²=（b+c）²-2bc-2bccosA，可得：49=169-3bc，
可得：bc=40，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×40×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=10\sqrt{3}$．--------------------------（12分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．