Question

11．已知{a_n}满足：${a_1}=a，{a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}{a_n}-3（{{a_n}＞3，n∈{N^+}}）\\ 4-{a_n}（{{a_n}≤3，n∈{N^+}}）\end{array}\right.$
（1）若$a=20\sqrt{2}$，求数列{a_n}的前30项和S₃₀的值；
（2）求证：对任意的实数a，总存在正整数m，使得当n＞m（n∈N⁺）时，a_n+4=a_n成立．

Answer 1

分析 （1）由已知a的值可得a₁，a₂，…，a₁₀是首项为$20\sqrt{2}$，公差为-3的等差数列．当n≥10时，a_n∈（1，3），且a_n+1+a_n=4．然后利用数列的分组求和得答案；
（2）当a_n＞3时，a_n+1=a_n-3．（Ⅰ）当a＞3时，不妨设a=3k+p（k∈N^*，0≤p＜3），由a_n+1=a_n-3，得a₁，a₂，…，a_k+1成等差数列，a_k+1=p∈[0，3）．然后分p=0，0＜p＜1，p=1，1＜p＜3分类证明；进一步证明a=3，0＜a＜3，a=0，a＜0时a_n+4=a_n成立．

解答 （1）解：∵a=$20\sqrt{2}$=$3×9+（20\sqrt{2}-27）$，当a_n＞3时，a_n+1-a_n=-3，
∴a₁，a₂，…，a₁₀是首项为$20\sqrt{2}$，公差为-3的等差数列．
∵${a}_{10}=20\sqrt{2}-27$∈（1，3），当a_n≤3时，a_n+1=4-a_n，
∴当n≥10时，a_n∈（1，3），且a_n+1+a_n=4．
∴S₃₀=（a₁+a₂+…+a₁₀）+（a₁₁+a₁₂）+…+（a₂₉+a₃₀）=10×$20\sqrt{2}$-135+4×10=200$\sqrt{2}$-95；
（2）证明：∵当a_n＞3时，a_n+1=a_n-3．
（Ⅰ）当a＞3时，不妨设a=3k+p（k∈N^*，0≤p＜3），
由a_n+1=a_n-3，得a₁，a₂，…，a_k+1成等差数列，a_k+1=p∈[0，3）．
①当p=0时，则有a_k+2=4，a_k+3=1，a_k+4=3，a_k+5=1，…
∴存在正整数m=k+3，当n＞m（n∈N^*）时，a_n+2=a_n成立，即a_n+4=a_n成立；
②当0＜p＜1时，则有a_k+2=4-p∈（3，4），a_k+3=1-p∈（0，1），a_k+4=3+p∈（3，4），a_k+5=p∈（0，1），…，
∴存在正整数m=k，当n＞m（n∈N^*）时，a_n+4=a_n；
③当p=1时，则有a_k+2=3，a_k+3=1，…
∴存在正整数m=k，当n＞m（n∈N^*）时，a_n+2=a_n成立，即a_n+4=a_n成立；
④当1＜p＜3时，则有a_k+2=4-p∈（1，3），a_k+3=p∈（1，3），…
∴存在正整数m=k，当n＞m（n∈N^*）时，a_n+2=a_n成立，即a_n+4=a_n成立；
（Ⅱ）当a=3时，a₂=1，由（2）（Ⅰ）③知命题成立；
（Ⅲ）当0＜a＜3时，由（2）（Ⅰ） ②③④知命题成立；
（Ⅳ）当a=0时，由（2）（Ⅰ） ①知命题成立；
（Ⅴ）当a＜0时，则a₂=4-a＞3，由（2）知命题成立．
综上得：对任意的实数a，总存在正整数m，使得当n＞m（n∈N^*）时，a_n+4=a_n成立．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，训练了分类讨论的数学思想方法，是中档题．