Question

8．已知在直角坐标系xOy中，设Q（x₁，y₁）是圆x²+y²=4上一个动点，点P（x₁²-y₁²，x₁y₁）的轨迹方程为C
（1）求曲线C的方程
（2）若直线l经过点M（1，1），倾斜角为α，直线l与曲线C交于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积的最小值．

Answer 1

分析 （1）Q（x₁，y₁）是圆x²+y²=4上一个动点，可得${x}_{1}^{2}$+${y}_{1}^{2}$=4．设P（x，y），则x=x₁²-y₁²，y=x₁y₁，通过完全平方公式即可得出．
（2）由已知可得直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$，（t为参数）．代入椭圆方程可得：（1+3sin²α）t²+（2cosα+8sinα）t-11=0，利用|MA|•|MB|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（1）∵Q（x₁，y₁）是圆x²+y²=4上一个动点，∴${x}_{1}^{2}$+${y}_{1}^{2}$=4．
设P（x，y），则x=x₁²-y₁²，y=x₁y₁，
∴x²+4y²=$（{x}_{1}^{2}-{y}_{1}^{2}）^{2}$+4${x}_{1}^{2}{y}_{1}^{2}$=$（{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}）^{2}$=16，
化为：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，即为曲线C的方程．
（2）由已知可得直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$，（t为参数）．
代入椭圆方程可得：（1+3sin²α）t²+（2cosα+8sinα）t-11=0，
∴t₁t₂=-$\frac{11}{1+3si{n}^{2}α}$．
∴|MA|•|MB|=|t₁t₂|=$\frac{11}{1+3si{n}^{2}α}$≥$\frac{11}{1+3}$=$\frac{11}{4}$．当且仅当sinα=1，即l⊥x轴时取等号．
∴点M到A，B两点的距离之积的最小值为$\frac{11}{4}$．

点评 本题考查了坐标变换、椭圆的标准方程、直线参数方程的应用、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．