Question

一个四棱锥的三视图如图所示，E为侧棱PC上一动点．
（1）画出该四棱锥的直观图，并指出几何体的主要特征（高、底等）．
（2）点E在何处时，PA∥平面EBD，并求出此时点A到平面EBD的距离．

Answer 1

分析：（1）根据视图基本原理，可得该四棱锥底面为菱形，∠BAC为60度，A在底面内的射影为底面中心，且四棱锥高为1．由此不难作出它的直观图；
（2）连接AC，且AC、BD交点为O．△ACP中利用中位线，得PA∥EO，结合线面平行的判定定理，可得PA∥平面EBD．再通过证明面BDE⊥面PAC，得点P到平面EBD的距离等于△POE的边OE上的高，也是点A到平面EBD的距离．最后通过计算Rt△POC的边长，得到△POE为正三角形，从而得到OE边上的高，即为点A到平面EBD的距离．

解答：解：（1）直观图如右图所示：…（3分）
该四棱锥底面为菱形，边长为2，其中角A为60度，
顶点A在底面内的射影为底面菱形的中心，四棱锥高为1．…（4分）
（2）当E为PC中点时，PA∥平面EBD．…（5分）
证明如下：
连接AC，且AC、BD交点为O．
∵四边形ABCD为正方形，
∴O为AC的中点，
又∵E为PC中点，
∴OE为△ACP的中位线，得PA∥EO，
∵PA?平面EBD，EO⊆平面EBD，∴PA∥平面EBD．…（8分）
当E为棱PC中点时，因为底面ABCD为菱形，P在面ABCD内的射影为O，
∴BD⊥面PAC，
结合BD⊆面BDE，得面BDE⊥面PAC．
又∵PA∥OE，∴点A到平面EBD的距离等于△POE中OE边的高．
∵△POC中，PO=1，
∴tan∠OPE=

OC

OP

=

3

，PE=

1

2

PC=

1

2

PO2+OC2

=1．
即△POE为正三角形，OE边的高等于

3

2

PE=

3

2

．
故点A到平面EBD的距离等于

3

2

．…（12分）

点评：本题将三视图还原为直观图，并且探索了线面平行和点到平面的距离，着重考查了空间的线面平行和点到平面距离求法等知识，属于中档题．