Question

已知一个四棱锥的三视图如图所示，其中Rt△PDA≌Rt△PBA，且PD=AD=2，E，F，G分别为PA、PD、CD的中点
（1）求证：PB∥平面EFG；
（2）求直线PA与平面EFG所成角的大小；
（3）在直线CD上是否存在一点Q，使二面角Q-EF-D的大小为60°？若存在，求出CQ的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）取AB中点M，由EF∥AD∥MG，知EFGM共面，由EM∥PB，能够证明PB∥平面EFG．
（2）以AD为x轴，AB为y轴，AE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PA与平面EFG所成角的大小．
（3）设Q（2，b，0），则

EQ

=(2，b，-1)，求出面EFQ的法向量

n2

=（0，1，b）．面EFD的法向量

n3

=（0，1，0），由二面角Q-EF-D的大小为60°，利用向量法能求出CQ的长．

解答：（1）证明：取AB中点M，
∵EF∥AD∥MG，
∴EFGM共面，
∵EM∥PB，PB?面EFG，EM?面EFG，
∴PB∥平面EFG      …（4分）
（2）解：如图，以AD为x轴，AB为y轴，AE为z轴，建立空间直角坐标系，
∵PD=AD=2，E，F，G分别为PA、PD、CD的中点，
∴E（0，0，1），F（1，0，1），G（2，1，0），P（0，0，2）
∴

EF

=（1，0，0），

FG

=(1，1，-1)，
设平面EFG的法向量为

n1

=（x，y，z），则

n1

•

EF

=0，

n1

•

FG

=1，
∴

x=0 x+y-z=0

，解得

n1

=（0，1，1）．
设直线PA与平面EFG所成角为α，
∵

AP

=（0，0，2），
∴sinα=|cos＜

AP

，

n1

＞|=|

2

2 2

|=

2

2

，∴α=45°．
故直线PA与平面EFG所成角的大小45°．
（3）解：设Q（2，b，0），则

EQ

=(2，b，-1)，
设面EFQ的法向量为

n2

=（x，y，z），则

n2

•

EQ

=0，

n2

•

EF

=0，
∴

2x+by-z=0 x=0

，解得

n2

=（0，1，b）．
∵面EFD的法向量

n3

=（0，1，0），且二面角Q-EF-D的大小为60°，
∴cos60°=

1

b2+1

=

1

2

，
解得b=

3

．
故CQ=2-

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的大小的求法，考查二面角的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．