Question

已知函数f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）a＞l，证明：当x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（-x）；
（Ⅲ）若对任意x₁，x₂，x₁≠x₂，且当f（x₁）=f（x₂）时，有x₁+x₂＜0，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）通过对函数求导确定单调区间，（Ⅱ）设出新函数，通过对新函数求导找到单调区间，确定最小值，从而问题得解，（Ⅲ）对a进行讨论，由前两问综合得出．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=a^x•lna+2x-lna，
令g（x）=f′（x），
∴g′（x）=a^x（lna）²+2＞0，
∴g（x）是（-∞，+∞）上的增函数，
∵g（0）=0，
∴x＞0时，g（x）＞g（0）=0，此时f′（x）＞0，
x＜0时，g（x）＜g（0）=0，此时f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递增．
（Ⅱ）设h（x）=f（x）-f（-x）=a^x-a^-x-2xlna，
∴h′（x）=（a^x+a^-x）lna-2lna，
∵a＞1，故lna＞0，
∴h′（x）≥2

ax•a-x

lna-2lna=2lna-2lna=0，
∴h（x）在（0，+∞）单调递增；
∴h（x）＞h（0）=0，
即x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（-x）．
（Ⅲ）由于x₁≠x₂，且f（x₁）=fx₂），
由（Ⅰ）知x₁，x₂异号，不妨设x₁＜0，x₂＞0，则x₁，-x₂∈（-∞，0），
由（Ⅱ）知：当a＞1时，f（x₁）=f（x₂）＞f（-x₂），
∵x∈（-∞，0）时，f（x）单调递减，故x₁＜-x₂，∴x₁+x₂＜0，即a＞1适合题意；
当0＜a＜1时，lna＜0，由（Ⅱ）h（x）=a^x-a^-x-2xlna
h′（x）=（a^x+a^-x）lna-2lna≤2lna-2lna=0，
∴h（x）在（0，+∞）单调递减，h（x）＜h（0）=0，
即f（x）＜f（-x），故f（x₁）=f（x₂）＜f（-x₂），
∵x∈（-∞，0）时，f（x）单调递减，
x₁＞-x₂，x₁+x₂＞0，即0＜a＜1不合题意，
综上：a＞1．

点评：本题考察了导数的综合应用，函数的单调性，分类讨论思想，是一道综合题．