Question

12．定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=2014^x+log₂₀₁₄x，则方程f（x）=0的实根个数是3．

Answer 1

分析 f（x）=0实根个数即函数y=2014^x的图象和函数y=-log₂₀₁₄x的交点个数，数形结合可得在（0，+∞）上，两个图象只有一个交点．再根据奇函数的性质可得当x＜0时，两个图象只有一个交点，且f（0）=0，综合可得结论．

解答 解：由题意可得，f（x）=0实根个数
即函数y=2014^x的图象和函数y=-log₂₀₁₄x的交点个数，
在同一坐标系下分别画出函数y=2014^x，y=-log₂₀₁₄x的图象，
如图所示，在（0，+∞）上，两个图象只有一个交点，
即方程f（x）=0只有一个实根．
再根据奇函数的性质可得f（0）=0，
再根据奇函数的图象的对称性可得，
当x＜0时，两个图象只有一个交点，
即方程f（x）=0只有一个实根．
综上，在R上，函数f（x）=0实根的个数为3，
故答案为：3．

点评 本题考查奇（偶）函数图象的性质应用，即根据题意画出一部分函数的图象，由交点的个数求出对应方程根的个数，利用图象的对称性和“f（0）=0”求出方程根的个数，易漏f（0）=0，属于中档题．