Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足 (n＋1) bn＝an＋1，(n＋2) cn＝，其中n∈N*．

（1）若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；

（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列．

Answer 1

【答案】（1）cn＝1．（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）由题意得，根据等差数列的通项公式求得，即可的通项公式；

（2）由，递推化简，得到，因为一切，都有，得到，得到，再利用等差数列的性质，即可得到数列为等差数列。

试题解析：

（1）因为{an}是公差为2的等差数列，

所以an＝a1＋2(n－1)，＝a1＋n－1，从而 (n＋2)

cn＝－(a1＋n－1)＝n＋2，即cn＝1．

（2）由(n＋1)bn＝an＋1－，

得n(n＋1) bn＝nan＋1－Sn，

(n＋1)(n＋2) bn＋1＝(n＋1)an＋2－Sn＋1，

两式相减，并化简得an＋2－an＋1＝(n＋2) bn＋1－nbn．

从而 (n＋2) cn＝－＝－[an＋1－(n＋1) bn]

＝＋(n＋1) bn

＝＋(n＋1) bn

＝ (n＋2)( bn＋bn＋1)．

因此cn＝ ( bn＋bn＋1)．

因为对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，所以λ≤cn＝ (bn＋bn＋1)≤λ，

故bn＝λ，cn＝λ．

所以 (n＋1)λ＝an＋1－， ①

(n＋2)λ＝ (an＋1＋an＋2)－， ②

②－①，得 (an＋2－an＋1)＝λ，即an＋2－an＋1＝2λ．

故an＋1－an＝2λ (n≥2)．

又2λ＝a2－＝a2－a1，则an＋1－an＝2λ (n≥1)．

所以数列{an}是等差数列．