Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心为坐标原点焦点在轴上，右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若是椭圆上关于轴对称的任意两点，设，连接交椭圆于另一点．求证：直线过定点并求出点的坐标；

（3）在（2）的条件下，过点的直线交椭圆于两点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明详见解析，；（3）.

【解析】

(1)根据题意列出关于的等式求解即可.

(2)先根据对称性,直线过的定点一定在轴上,再设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程, 进而求得的方程,并代入,化简分析即可.

(3)先分析过点的直线斜率不存在时的值,再分析存在时,设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程,得出韦达定理再代入求解出关于的解析式,再求解范围即可.

解：设椭圆的标准方程焦距为,

由题意得,

由,可得

则,

所以椭圆的标准方程为；

证明：根据对称性,直线过的定点一定在轴上,

由题意可知直线的斜率存在,

设直线的方程为,

联立,消去得到,

设点,

则．

所以,

所以的方程为,

令得,

将,代入上式并整理,

,

整理得,

所以,直线与轴相交于定点．

当过点的直线的斜率不存在时,直线的方程为,

此时,

当过点的直线斜率存在时,

设直线的方程为,且在椭圆上,

联立方程组,

消去,整理得,

则．

所以

所以,

所以,

由得,

综上可得,的取值范围是．