Question

【题目】函数，.

（Ⅰ）若，设，试证明存在唯一零点，并求的最大值；

（Ⅱ）若关于的不等式的解集中有且只有两个整数，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意知，求得，令，，进而判定出函数的单调性，求得函数的最大值.

（Ⅱ）由题意等价于，令，求得，

令，则，即在上单调递增，求得，，的值，进而得到实数的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）证明：由题意知，

于是

令，，

∴在上单调递减.

又，，

所以存在，使得，

综上存在唯一零点.

解：当，，于是，在单调递增；

当，，于是，在单调递减；

故，

又，，，

故.

（Ⅱ）解：等价于.

，

令，则，

令，则，即在上单调递增.

又，，

∴存在，使得.

∴当，在单调递增；

当，在单调递减.

∵，，，

且当时，，

又，，，

故要使不等式解集中有且只有两个整数，的取值范围应为.