Question

△ABC中，∠B=60°，AC=2

3

，则△ABC周长的最大值为（　　）

• A、2
• B、2

  3

• C、3

  3

• D、6

  3

Answer 1

考点：正弦定理

专题：平面向量及应用

分析：由正弦定理可得

a+b+c

sinA+sinB+sinC

=

b

sinB

=4，可得a+b+c=4（sinA+sinB+sinC）=2

3

+4

3

sin(A+30°)，再利用正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：由正弦定理可得

a+b+c

sinA+sinB+sinC

=

b

sinB

=

2 3

sin60°

=4，
∴a+b+c=4（sinA+sinB+sinC）=2

3

+4sinA+4sin（120°-A）=2

3

+4sinA+4(

3

2

cosA+

1

2

sinA)=2

3

+4

3

sin(A+30°)≤6

3

，当且仅当A=60°时取等号．
∴△ABC周长的最大值为6

3

．
故选：D．

点评：本题考查了正弦定理、正弦函数的单调性、两角和差的正弦余弦公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．