Question

17．在直角坐标系xOy中，圆O：x²+y²=4与x轴负半轴交于点A，过点A的直线AM，AN分别与圆O交于M，N两点．
（ I）若k_AM=2，k_AN=-$\frac{1}{2}$，求△AMN的面积；
（ II）过点P（3$\sqrt{3}$，-5）作圆O的两条切线，切点分别为E、F，求$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$．

Answer 1

分析 （I）若k_AM=2，k_AN=-$\frac{1}{2}$，求出|AM|，|AN|，即可求△AMN的面积；
（II）求出$cos∠OPE=\frac{{4\sqrt{3}}}{{2\sqrt{13}}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{{\sqrt{13}}}$，利用向量的数量积公式，求$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$．

解答 解：（I）∵$A（-2，0），{k_{AM}}=2，{k_{AN}}=-\frac{1}{2}$，
∴$直线AM的方程为y=2x+4，直线AN的方程为y=-\frac{1}{2}x-1$，
∴$圆心O到直线AM的距离d=\frac{|4|}{{\sqrt{5}}}，从而|{AM}|=2\sqrt{4-\frac{16}{5}}=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$．…（2分）
∵${k_{AM}}•{k_{AN}}=-1∴AM⊥AN∴|{AN}|=2d=\frac{{8\sqrt{5}}}{5}$…（4分）∴${S_{△AMN}}=\frac{1}{2}|{AM}|•|{AN}|=\frac{1}{2}×\frac{{4\sqrt{5}}}{5}×\frac{{8\sqrt{5}}}{5}=\frac{16}{5}$．…（6分）
（II）∵$|{PO}|=\sqrt{{{（3\sqrt{3}）}^2}+{{（-5）}^2}}=2\sqrt{13}$，$|{\overrightarrow{PE}}|=\sqrt{P{O^2}-O{E^2}}=\sqrt{{{（2\sqrt{13}）}^2}-4}=4\sqrt{3}$．
∴$cos∠OPE=\frac{{4\sqrt{3}}}{{2\sqrt{13}}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{{\sqrt{13}}}$…（8分）
又∵$cos∠FPE=cos2∠OPE=2{cos^2}∠OPE-1=2{（\frac{{2\sqrt{3}}}{{\sqrt{13}}}）^2}-1=\frac{11}{13}$…（10分）
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}=|{\overrightarrow{PE}}|•|{\overrightarrow{PF}}|cos∠FPE={（4\sqrt{3}）^2}×\frac{11}{13}=\frac{528}{13}$．…（12分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．