Question

5．已知函数f（x）=log_a（$\sqrt{{x}^{2}+m}$+x）（a＞0，a≠1）为奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）求f（x）的反函数f^-1（x）．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的性质：f（-x）+f（x）=0，再利用对数的运算性质解出即可得出．
（2）由（1）可得：y=f（x）=log_a（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x），∴$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$=a^y，$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x=a^-y，解得x=$\frac{{a}^{y}-{a}^{-y}}{2}$，把x与y互换即可得出．

解答 解：（1）∵函数f（x）=log_a（$\sqrt{{x}^{2}+m}$+x）（a＞0，a≠1）为奇函数．
∴f（-x）+f（x）=log_a（$\sqrt{{x}^{2}+m}$-x）+log_a（$\sqrt{{x}^{2}+m}$+x）=log_am=0，解得m=1．
经过验证，满足题意，
∴m=1．
（2）由（1）可得：y=f（x）=log_a（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x），
∴$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$=a^y，$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x=a^-y，解得x=$\frac{{a}^{y}-{a}^{-y}}{2}$，
把x与y互换可得：y=$\frac{{a}^{x}-{a}^{-x}}{2}$，即f^-1（x）=$\frac{{a}^{x}-{a}^{-x}}{2}$，即为原函数的反函数．

点评 本题考查了对数与指数函数的运算性质、反函数的求法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．