Question

15．梯形BDEF所在平面垂直于平面ABCD于BD，EF∥BD，EF=DE=$\frac{1}{2}$BD，BD=BC=CD=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$AD=2，DE⊥BC．
（Ⅰ） 求证：DE⊥平面ABCD；
 （Ⅱ） 求平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC，交BD于O，推导出AC⊥BD，从而AC⊥平面BDEF，进而DE⊥AC，再由DE⊥BC，能证明DE⊥平面ABCD．
（Ⅱ）分别以OA，OB，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）连接AC，交BD于O，
∵BD=BC=CD，且AB=AD，∴AC⊥BD，
∵平面BDEF⊥平面ABCD，交线为BD，且AC?平面ABCD，
∴AC⊥平面BDEF，
∵DE?平面BDEF，∴DE⊥AC，
又DE⊥BC，且AC∩BC=C，∴DE⊥平面ABCD． …（6分）
解：（Ⅱ）∵EF∥BD，EF=$\frac{1}{2}$BD，且O是BD中点，∴ODEF是平行四边形，
∴OF∥DE，∴OF⊥平面ABCD，…（8分）
分别以OA，OB，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
A（1，0，0），C（-$\sqrt{3}$，0，0），E（0，-1，1），F（0，0，1），
$\overrightarrow{AF}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{EF}$=（0，1，0），$\overrightarrow{CF}$=（$\sqrt{3}，0，1$），
设平面AEF的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AF}=-x+z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EF}=y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，0，1），…（9分）
设平面CEF的法向量$\overrightarrow{n}=（a，b，c）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CF}=\sqrt{3}a+c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-$\sqrt{3}$），…（10分）
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1-\sqrt{3}}{\sqrt{2}•2}$=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$．
即平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．