Question

16．记函数的f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-1}$定义域为A，不等式（x-a-1）（2a-x）＞0的解集为B．
（1）求A；
（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由根式内部的代数式大于等于0求解不等式得到集合A；
（2）求解一元二次不等式化简集合B，分类讨论，利用B∩A=B得到B是A的子集，然后利用端点值间的关系列不等式求解a的取值范围．

解答 解：（1）由x²-1≥0，得x≤-1或x≥1，即A=（-∞，-1]∪[1，+∞）；
（2）由（x-a-1）（2a-x）＞0，得（x-a-1）（x-2a）＜0．
∵a＜1时，∴a+1＞2a，∴B=（2a，a+1）．
∵A∩B=B，∴B⊆A，∴2a≥1或a+1≤-1，即a≥$\frac{1}{2}$或a≤-2．
而a＜1，∴$\frac{1}{2}$≤a＜1或a≤-2．
a=1，B=∅，满足题意；
a＞1时，B=（a+1，2a）．
∵A∩B=B，∴B⊆A，∴a+1≥1或2a≤-1，即a≥0或a≤-$\frac{1}{2}$．
而a＞1，∴a＞1．
综上所述，实数a的取值范围是a≥$\frac{1}{2}$或a≤-2．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法，考查了交集及其运算，解答的关键在于对端点值的取舍，是中档题．