Question

11．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₄=7且4S_n=n（a_n+a_n+1），则S_n-8a_n的最小值为-56．

Answer 1

分析 4S₃=3（a₃+a₄）=3（a₃+7），4S₂=2（a₂+a₃），4S₁=4a₁=a₁+a₂，解得：a₁=1，a₂=3，a₃=5，a₄=7，…，可得a_n=2n-1，S_n．代入4S_n=n（a_n+a_n+1）验证成立，利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：∵4S₃=3（a₃+a₄）=3（a₃+7），
4S₂=2（a₂+a₃），4S₁=4a₁=a₁+a₂，
解得：a₁=1，a₂=3，a₃=5，a₄=7，…，∴a_n=2n-1．
可得S_n=$\frac{n（2n-1+1）}{2}$=n²．代入4S_n=n（a_n+a_n+1）验证成立，
∴S_n-8a_n=n²-8（2n-1）=（n-8）²-56，∴当n=8时，S_n-8a_n取得最小值-56．
故答案为：-56．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．