某统计局为了调查居民支出状况.随机调查该市10户家庭的三类支出:食品消费类支出.衣着消费类支出.居住消费类支出.每类支出都分为A.B.C三个等级.现在对三种等级进行量化:A级记为2分,B级记为1分,C级记为0分.用表示该家庭的食品消费类支出.衣着消费类支出.居住消费类支出的得分情况.再用综合指标ω=x+y+z的值评定该� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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7．某统计局为了调查居民支出状况，随机调查该市10户家庭的三类支出：食品消费类支出，衣着消费类支出、居住消费类支出，每类支出都分为A、B、C三个等级，现在对三种等级进行量化：A级记为2分；B级记为1分；C级记为0分，用（x，y，z）表示该家庭的食品消费类支出、衣着消费类支出、居住消费类支出的得分情况，再用综合指标ω=x+y+z的值评定该家庭的得分等级：若ω≥4，则得分等级为一级；若2≤ω≤3，则得分等级为二级；若0≤ω≤1，则得分等级为三级，得到如下结果：

家庭编号	A₁	A₂	A₃	A₄	A₅	A₆	A₇	A₈	A₉	A₁₀
（x，y，z）	（1，1，2）	（2，1，1）	（2，2，2）	（0，0，1）	（1，2，1）	（1，2，2）	（1，1，1）	（1，2，2）	（1，2，1）	（1，1，1）

（1）在这10户家庭中任取两户，求这两户家庭居住消费类支出得分相同的概率；
（2）从得分等级是一级的家庭中任取一户，其综合指标为a，从得分等级不是一级的家庭中任取一户，其综合指标为b，记随机变量X=a-b，求X的分布列及数学期望．

分析（1）设事件A为“从10户家庭中随机抽取两户，他们的居住消费支出得分相同”．居住消费支出得分1分的有6户，居住消费支出得分为2的有4户，由此能求出居住消费支出得分相同的所有的概率．
（2）随机变量X的所有可能取值为：1，2，3，4，5．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答解：（1）设事件A为“从10户家庭中随机抽取两户，他们的居住消费支出得分相同”．
居住消费支出得分1分的有A₂，A₄，A₅，A₇，A₉，A₁₀，
居住消费支出得分为2的有A₁，A₃，A₆，A₈，
从10户家庭中随机抽取两户的所有结果为${C}_{10}^{2}$=45，
居住消费支出得分相同的所有结果数为${C}_{6}^{2}+{C}_{4}^{2}$=21，
所以居住消费支出得分相同的所有的概率为P（A）=$\frac{21}{45}=\frac{7}{15}$．…5分
（2）计算10户家庭的综合指标，可得下表：

人员编号	A₁	A₂	A₃	A₄	A₅	A₆	A₇	A₈	A₉	A₁₀
综合指标	4	4	6	1	4	5	3	5	4	3

其中综合指标是一级的（ω≥4）有A₁，A₂，A₃，A₅，A₆，A₈，A₉，共7户，
综合指标不是一级的（ω《4）有A₄，A₇，A₁₀共3户．…7分
随机变量X的所有可能取值为：1，2，3，4，5．
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{7}^{1}{C}_{3}^{1}}$=$\frac{8}{21}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{7}^{1}{C}_{3}^{1}}$=$\frac{4}{21}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{1}^{1}+{C}_{1}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{7}^{1}{C}_{3}^{1}}$=$\frac{6}{21}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{7}^{1}{C}_{3}^{1}}$=$\frac{2}{21}$，
P（X=5）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{7}^{1}{C}_{3}^{1}}$=$\frac{1}{21}$，…9分
所以X的分布列为：

X	1	2	3	4	5
P	$\frac{8}{21}$	$\frac{4}{21}$	$\frac{6}{21}$	$\frac{2}{21}$	$\frac{1}{21}$

所以EX=$1×\frac{8}{21}+2×\frac{4}{21}+3×\frac{6}{21}+4×\frac{2}{21}+5×\frac{1}{21}$=$\frac{47}{21}$． …12分．

点评本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．

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A．

{x|-1≤x＜4}

B．

{x|2≤x＜4}

C．

{x|x≥-1}

D．

{x|x≤4}

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（2）求贡献率R²的值（保留小数点后两位），并做出解释．
附计算公式：$\widehat{b}$$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{xy}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n\stackrel{-2}{x}}$，$\overline{y}$=$\widehat{b}$$\overline{x}$+$\widehat{a}$，R²=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-{\widehat{y}}_{i}）^{2}}{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\widehat{y}）^{2}}$．

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A．

B．

23.5

C．

D．

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A．

$\frac{1}{5}$

B．

$\frac{1}{4}$

C．

$\frac{1}{3}$

D．

$\frac{1}{2}$

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