Question

【题目】设函数（为自然对数的底数），， .

（1）若是的极值点，且直线分别与函数和的图象交于，求两点间的最短距离；

（2）若时，函数的图象恒在的图象上方，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）1（2）

【解析】试题分析：

(1)结合题意可得|PQ|=et+sint2t.令h(x)=ex+sinx2x，结合函数的性质可得两点间的最短距离是1；

(2)构造函数，结合题意可得实数的取值范围是.

试题解析：

(1)因为F(x)=ex+sinxax,所以F′(x)=ex+cosxa，

因为x=0是F(x)的极值点,所以F′(0)=1+1a=0，a=2.

又当a=2时,若x<0,F′(x)=ex+cosxa<1+12=0，

所以F′(x)在(0,+∞)上为增函数,所以F′(x)>F′(0)=1+12=0,所以x=0是F(x)的极小值点，

所以a=2符合题意,所以|PQ|=et+sint2t.令h(x)=ex+sinx2x,即h′(x)=ex+cosx2，

因为h′′(x)=exsinx,当x>0时,ex>1，1sinx1，

所以h′′(x)=exsinx>0,所以h′(x)=ex+cosx2在(0,+∞)上递增，

所以h′(x)=ex+cosx2>h′(0)=0,∴x∈[0,+∞)时,h(x)的最小值为h(0)=1,所以|PQ|min=1.

(2)令，

则，

，

因为当时恒成立，

所以函数在上单调递增，∴当时恒成立；

故函数在上单调递增，所以在时恒成立.

当时， ， 在单调递增，即.

故时恒成立.

当时，因为在单调递增，所以总存在，使在区间上，导致在区间上单调递减，而，所以当时， ，这与对恒成立矛盾，所以不符合题意，故符合条件的的取值范围是.