Question

已知四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，AD=2，
∠DAB=60°，E为AB的中点．
（1）证明：DC⊥平面PDE；
（2）若PD=

3

AD，求E到平面PBC的距离．

Answer 1

分析：（1）根据底面为含有60度的菱形，得△DAB为正三角形，从而得到AB⊥DE，结合PD⊥AB利用线面垂直判定定理，即可证出DC⊥平面PDE；
（2）根据题中数据，结合勾股定理算出PB=PC=4，利用正余弦定理算出△PBC的面积为

15

．由菱形的面积算出
S△EBC=

3

2

，在四面体PBCD内利用等体积转换，即可算出E到平面PBC的距离．

解答：解：（1）∵PD⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，∴PD⊥AB…（2分）
连接DB，在菱形ABCD中，∠DAB=60°
∴△DAB为等边三角形…（4分）
又∵E为AB的中点，∴AB⊥DE
∵PD、DE是平面PDE内的相交直线，
∴DC⊥平面PDE；---------------（6分）
（2）∵AD=2，得PD=

3

AD=2

3

，
∴Rt△PCD中，PC=

PD2+AD2

=4，同理可得PB=4
∵cos∠BPC=

42+42-22

2×4×4

=

7

8

，得sin∠BPC=

1-( 7 8 )2

=

15

8

∴△PBC的面积为S_△PBC=

1

2

PB•PCsin∠BPC=

15

又∵S△EBC=

1

4

SABCD=

3

2

---------------（9分）
∴设点E到平面PBC的距离为h，
由 V_P-EBC=V_E-PBC得，

1

3

S△EBC•PD=

1

3

S△PBC•h，解之得h=

15

5

即点E到平面PBC的距离等于

15

5

---------------（12分）

点评：本题给出特殊四棱锥，求证线面垂直并求点到平面的距离．着重考查了线面垂直的判定与性质和点面距离的定义及求法等知识，属于中档题．