Question

已知函数f（x）=2x³+ax与g（x）=bx²+c的图象都过点P（2，0），且在点P处有相同的切线．
（Ⅰ）求实数a，b，c的值；
（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）+g（x），求F（x）在区间[-3，0]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲求实数a，b，c的值，只须求出切线斜率的值，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用斜率相等及都过点P列出等量关系，从而问题解决．
（Ⅱ）欲求F（x）在区间[-3，0]上的最大值和最小值，利用导数来解决．研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最值即可．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=6x²+a，g′（x）=2bx，…（2分）
根据题意有

16+2a=0 4b+c=0 24+a=4b

…（4分）
解得a=-8，b=4，c=-16（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x³-8x，g（x）=4x²-16．
则F（x）=2x³+4x²-8x-16…（7分）
F′（x）=6x²+8x-8…（8分）
令F′（x）＞0，即6x²+8x-8＞0，解得x＜-2或x＞

2

3

；
令F′（x）＜0，即6x²+8x-8＜0，解得-2＜x＜

2

3

…（11分）
当x在[-3，0]内变化时，F′（x）与F（x）的变化情况如下：
当x=0时F（x）有最小值-16；当x=-2时F（x）有最大值0…（13分）

点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数求闭区间上函数的最值等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．