Question

已知“一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大”．
（1）设一个圆和一个正方形的周长相等，都为l，请你用l分别表示出圆和正方形的面积，并用分析法证明该命题；
（2）类比球体与正方体，写出一个正确的命题（不要求证明）．

Answer 1

分析：（1）依题意，圆的面积为π•(

l

2π

)2，正方形的面积为(

l

4

)2，根据分析法的证明步骤可得结论；
（2）周长类比表面积，面积类比体积，即可得出结论．

解答：解：（1）依题意，圆的面积为π•(

l

2π

)2，正方形的面积为(

l

4

)2．
因此本题只需证明π•(

l

2π

)2＞(

l

4

)2．
要证明上式，只需证明

πl2

4π2

＞

l2

16

，
两边同乘以正数

4

l2

，得

1

π

＞

1

4

．
因此，只需证明4＞π．
因为4＞π恒成立，所以π•(

l

2π

)2＞(

l

4

)2．
这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积大．
（2）一个球与一个正方体的表面积相等时，球的体积比正方体的体积大．

点评：本题考查类比方法的运用，考查分析法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．