Question

选修4一1：几何证明选讲
如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD．
（Ⅰ）求证：DE是圆O的切线；
（Ⅱ）如果AD=AB=2，求EB．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证DE是圆O的切线，连接AC，只需证出∠DAO=90°，由BC∥OD⇒OD⊥AC，则OD是AC的中垂线．通过△AOC，△BOC均为等腰三角形，即可证得∠DAO=90°．
（Ⅱ）由 BC∥OD⇒∠CBA=∠DOA，结合∠BCA=∠DAO，得出△ABC∽△AOD，利用比例线段求出EB．

解答：（Ⅰ）证：连接AC，AB是直径，则BC⊥AC
由BC∥OD⇒OD⊥AC

则OD是AC的中垂线⇒∠OCA=∠OAC，∠DCA=∠DAC，
⇒∠OCD=∠OCA+∠DCA=∠OAC+∠DAC=∠DAO=90°．
⇒OC⊥DE，所以DE是圆O的切线．
（Ⅱ） BC∥OD⇒∠CBA=∠DOA，∠BCA=∠DAO⇒△ABC∽△AOD
⇒

BC

OA

=

AB

OD

⇒BC=

OA•AB

OD

=

1×2

5

=

2 5

5

⇒

BC

OD

=

2

5

⇒

BE

OE

=

2

5

⇒

BE

OB

=

2

3

⇒BE=

2

3

点评：本题考查圆的切线的证明，与圆有关的比例线段．准确掌握与圆有关的线、角的性质是解决此类问题的基础和关键．