Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁+a₃=-2，a₄+a₇=12．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若不等式S_n+a≥2n对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由题意可得首项和公差的方程组，联立可解得a₁和d，可得通项公式；
（2）由（1）可得S_n的不等式，代入条件变形可得变形可得a≥-n²+6n对任意的正整数n恒成立，只需由二次函数的知识求得-n²+6n的最大值可得结论．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
则a₁+a₃=2a₁+2d=-2，a₄+a₇=2a₁+9d=12．
联立可解得a₁=-3，d=2，
故a_n=-3+2（n-1）=2n-5
（2）由（1）可得a_n=2n-5，
故S_n=

n(-3+2n-5)

2

=n²-4n，
∵不等式S_n+a≥2n对任意的正整数n恒成立，
∴n²-4n+a≥2n对任意的正整数n恒成立，
变形可得a≥-n²+6n对任意的正整数n恒成立，
由二次函数的知识可知当n=3时，-n²+6n取最大值9，
故实数a的取值范围为：a≥9

点评：本题考查等差数列的求和公式和通项公式，涉及二次函数的性质和恒成立问题，属中档题．