Question

已知平面向量，，，其中0＜φ＜π，且函数的图象过点．
（1）求φ的值；
（2）先将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，然后将得到函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在[0，]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用两个向量的数量积公式求出和的值，进而求得f（x）=cos（2x-φ），再把点代入函数的解析式可得φ 的值．
（2）由（1）可得f（x）=cos（2x-），根据y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律求得g（x）=cos（x-），再由x∈[0，]，利用余弦函数的定义域和值域求得函数g（x）的最大值和最小值．
解答：解：（1）由题意可得=（cosφ，sinφ）•（cosx，sinx）=cosφcosx+sinφsinx=cos（φ-x），
=（cosx，sinx）•（sinφ-cosφ）=sinφcosx-cosφsinx=sin（φ-x），
∴函数=cos（φ-x）cosx+sin（φ-x）sinx=cos（φ-x-x）=cos（2x-φ）．
把点代入可得 cos（-φ）=1．
而 0＜φ＜π，∴φ=．
（2）由（1）可得f（x）=cos（2x-），图象向左平移个单位，
可得函数y=cos[2（x+）-]=cos（2x-）的图象；然后将得到函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍，
纵坐标不变，得到函数y=cos（x-）的图象，
故函数 y=g（x）=cos（x-）．
由x∈[0，]，可得 x-∈[-，]，
故当x-=0时，函数g（x）=cos（x-） 取得最大值为1，
x-=时，函数g（x）=cos（x-） 取得最小值为 ．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，三角恒等变换，余弦函数的、定义域和值域，属于中档题．