Question

10．已知a∈R，函数f（x）=$\sqrt{x}$+$\frac{a}{x}$．
（1）当a=-1时，求函数f（x）的零点；
（2）若函数g（x）=f（x）-f（4）在区间（4，16）内有零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）解方程f（x）=0即可得出f（x）的零点；
（2）由f（x）=f（4）在（4，16）上有解可知f（x）在（4，16）不单调，利用导数判断f（x）的单调性得出f（4）与f（16）的大小关系即可得出a的范围．

解答 解：（1）a=-1时，f（x）=$\sqrt{x}$-$\frac{1}{x}$，令f（x）=0得$\sqrt{x}$=$\frac{1}{x}$，
∴x=$\frac{1}{{x}^{2}}$，解得x=1．
∴f（x）的零点为x=1．
（2）令g（x）=0得f（x）=f（4）=$\frac{a}{4}+2$．
∵f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{\sqrt{{x}^{3}}-2a}{2{x}^{2}}$，
①若a≤0，则f′（x）＞0，f（x）在（4，16）上为增函数，
∴f（x）=f（4）无解．即g（x）在（4，16）上无零点．
②若a＞0，令f′（x）=0，解得x=$\root{3}{4{a}^{2}}$．
∴当0＜x＜$\root{3}{4{a}^{2}}$时，f′（x）＜0，当x＞$\root{3}{4{a}^{2}}$时，f′（x）＞0．
∴当$\root{3}{4{a}^{2}}$≤4或$\root{3}{4{a}^{2}}$≥16时，f（x）在（4，16）上为单调函数，显然f（x）=f（4）无解．
当4＜$\root{3}{4{a}^{2}}$＜16，即4＜a＜32时，f（x）在（4，16）上先减后增，
∵g（x）=f（x）-f（4）在区间（4，16）内有零点，
∴f（16）＞f（4），即4+$\frac{a}{16}$＞2+$\frac{a}{4}$，又4＜a＜32，
解得：4＜a$＜\frac{32}{3}$．

点评 本题考查了函数零点的计算，函数单调性与函数零点的关系，属于中档题．