Question

20．已知矩形ABCD的边AB=4，AD=1，点P为边AB上的一动点，则当∠DPC最大时，线段AP的长为（　　）

• A． 1或3
• B． 1.5或2.5
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 以点A为原点，AB、AD所在直线分别为x，y轴，建立直角坐标系xOy，设P（x，0），则0≤x≤4，（1）当x=0时，可求∠CPD为锐角．（2）当0＜x＜4时，可得tan∠APD=$\frac{1}{x}$，tan∠BPC=$\frac{1}{4-x}$，利用两角和的正切函数公式可求tan∠CPD=$\frac{4}{（x-2）^{2}-3}$，可得当x=2时，∠CPD最大，即可得解．

解答 解：如图，以点A为原点，AB、AD所在直线分别为x，y轴，建立直角坐标系xOy，
则A（0，0），B（4，0），C（4，1），
D（0，1），
设P（x，0），则0≤x≤4，
（1）当x=0时，tan∠CPD=tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$=4；
当x=4时，tan∠CPD=tan∠CBD=$\frac{CD}{BC}$=4，此时∠CPD为锐角．
（2）当0＜x＜4时，tan∠APD=$\frac{1}{x}$，tan∠BPC=$\frac{1}{4-x}$，
所以tan∠CPD=tan（π-∠APD-∠BPC）
=-$\frac{tan∠APD+tan∠BPC}{1-tan∠APD•tan∠BPC}$
=-$\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{4-x}}{1-\frac{1}{x}•\frac{1}{4-x}}$
=$\frac{4}{{x}^{2}-4x+1}$
=$\frac{4}{（x-2）^{2}-3}$，
当x=2时，tan∠CPD=-$\frac{4}{3}$，此时∠CPD最大，即所求线段AP的长为2．
故选：C．

点评 本题考查了两角和的正切函数、函数最值的求解及函数思想、分类讨论思想，考查学生灵活运用所学知识解决问题的能力，属于中档题．