Question

15．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，且过点（-2，3）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的右焦点作两条相互垂直的直线l，m，且直线l交椭圆C于M、N两点，直线m交椭圆C于P、Q两点，求|MN|+|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，且过点（-2，3），列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）椭圆C的右焦点F₁（2，0），当直线l，m中有一条直线的斜率不存在时，|MN|+|PQ|=14，当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y=k（x-2），联立方程，得$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，整理，得：（3+4k²）x²-16k²x+16k²-48=0，由弦长公式求出|MN|=$\frac{24（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，设直线m的方程为y=-$\frac{1}{k}（x-2）$，同理得|PQ|=$\frac{24（1+{k}^{2}）}{4+3{k}^{2}}$，由此利用换元法能求出|MN|+|PQ|的最小值．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，且过点（-2，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{9}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=16，b²=12，c²=4，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
（2）由（1）知椭圆C的右焦点F₁（2，0），
当直线l，m中有一条直线的斜率不存在时，|MN|+|PQ|=6+8=14，
当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y=k（x-2），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立方程，得$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，整理，得：（3+4k²）x²-16k²x+16k²-48=0，
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{16{k}^{2}-48}{3+4{k}^{2}}$，
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{24（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$
设直线m的方程为y=-$\frac{1}{k}（x-2）$，同理得|PQ|=$\frac{24（1+{k}^{2}）}{4+3{k}^{2}}$，
∴|MN|+|PQ|=$\frac{24（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{24（1+{k}^{2}）}{4+3{k}^{2}}$=$\frac{168（{k}^{2}+1）^{2}}{（4+3{k}^{2}）（3+4{k}^{\;}2）}$，
设t=k²+1，则t＞1，
∴|MN|+|PQ|=$\frac{168}{12+\frac{t-1}{{t}^{2}}}$，
∵t＞1，∴0＜$\frac{t-1}{{t}^{2}}$$≤\frac{1}{4}$，
∴|MN|+|PQ|的最小值为$\frac{96}{7}$．

点评 本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、弦长的问题，意在考查学生的逻辑分析能力以及推理运算能力．