Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

1

2

，且经过点A（2，3）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线AO（O是坐标原点）与椭圆C相交于点B，试证明在椭圆C上存在不同于A、B的点P，使AP²=AB²+BP²（不需要求出点P的坐标）．

Answer 1

分析：（1）由椭圆的性质，由离心率e=

1

2

可得b2=

3

4

a2，又由点A（2，3）在椭圆上，可得

4

a2

+

9

b2

=1，联立两式，可得a、b的值，即可得答案；
（2）首先将AP²=AB²+BP²成立转化为AB⊥BP，由椭圆的性质，易得B的坐标，进而可得直线BP的方程，与椭圆的方程联立转化为关于y的一元二次方程43y²+234y+315=0，，分析可得其△＞0恒成立，即可得BP与椭圆有2个交点，可得证明．

解答：解：（1）依题意，e=

c

a

=

a2-b2

a

=

1

2

，
从而b2=

3

4

a2，
点A（2，3）在椭圆上，所以

4

a2

+

9

b2

=1，
解得a²=16，b²=12，
椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

12

=1，
（2）若AP²=AB²+BP²成立，则必有∠ABP=90°，即AB⊥BP，
由椭圆的对称性知，B（-2，-3），
由AB⊥BP，kAB=

3

2

知kBP=-

2

3

，
所以直线BP的方程为y+3=-

2

3

(x+2)，即2x+3y+13=0，
由

x2 16 + y2 12 =1 2x+3y+13=0

，
得43y²+234y+315=0，
△=234²-4×43×315＞0，
所以直线BP与椭圆C有两个不同的交点，
即在椭圆C上存在不同于A、B的点P，使AP²=AB²+BP²．

点评：本题考查椭圆的性质及其性质的应用，本题中将“将AP²=AB²+BP²成立”转化为“AB⊥BP”是解题的突破口．