Question

如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3， H是CF的中点.

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；

（Ⅱ）求直线DH与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角的大小.

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为四边形是菱形，

所以 .                                         

因为平面平面，且四边形是矩形，

所以 平面，                                 

又因为 平面，

所以 .                                          

因为 ，

所以 平面.                                  

（Ⅱ）解：设，取的中点，连接，

因为四边形是矩形，分别为的中点，

所以 ，

又因为 平面，所以 平面，

由，得两两垂直.

所以以为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系.                                                         

因为底面是边长为2的菱形，，，

所以 ，，，，

，，.     

因为 平面，

所以平面的法向量.

设直线与平面所成角为，

由 ，  

得 ，

所以直线与平面所成角的正弦值为.           

（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得，.

设平面的法向量为，

所以                                        

即  

令，得.                                 

由平面，得平面的法向量为，

则.  

由图可知二面角为锐角，

所以二面角的大小为.