Question

【题目】定义在D上的函数 ，若满足： ，都有 成立，则称 是D上的有界函数，其中M称为函数 的上界.
（I）设 ，证明： 在 上是有界函数，并写出 所有上界的值的集合；
（II）若函数 在 上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（I）证明：因为 ，

所以 在 上是增函数. 所以 . 即 ，

所以 ，所以 是有界函数．

所以，上界M满足M≥1，所有上界M的集合为 ．.

（II）解：因为函数 在 上是以3为上界的有界函数，

所以 在 上恒成立.

所以 ， ，

令 ，则 ，所以 在 上恒成立，

所以， 在 上恒成立，

令 ，则 在 上是减函数，

所以 ；

令 ，则 在 上是增函数，

所以 ，.

所以，实数a的取值范围 ．

【解析】(1)由题意结合函数的单调性即可得证结论故 f ( x ) 所有上界的值得集合是 [ 1 , + ∞ )。(2)利用题意得到关于a的不等式求解不等式即得a的取值范围。
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的性质的相关知识点，需要掌握函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集才能正确解答此题．