Question

20．若x∈[1，2]，y∈[2，3]时，$\frac{a{x}^{2}+2{y}^{2}}{xy}$-1＞0恒成立，则a的取值范围（　　）

• A． （-1，+∞）
• B． （-∞，-1）
• C． [-1，+∞）
• D． （-∞，-1）

Answer 1

分析 利用参数分离法将不等式进行转化，利用换元法转化为一元二次函数，判断对称轴求出函数在区间上最值即可得到结论．

解答 解：若x∈[1，2]，y∈[2，3]时，$\frac{a{x}^{2}+2{y}^{2}}{xy}$-1＞0恒成立，
则ax²+2y²＞xy，
即ax²＞xy-2y²，
即a＞$\frac{xy-2{y}^{2}}{{x}^{2}}$=$\frac{y}{x}$-2（$\frac{y}{x}$）²，
设t=$\frac{y}{x}$，则a＞t-2t²，
∵x∈[1，2]，y∈[2，3]，
∴$\frac{1}{x}$∈[$\frac{1}{2}$，1]，则t=$\frac{y}{x}$∈[1，3]，
设f（t）=t-2t²，t∈[1，3]，
则f（t）=t-2t²，的对称轴为t=$\frac{1}{4}$，
则函数在[1，3]上为减函数，
∴当t=1时，函数取得最大值f（1）=1-2=-1，
则a＞-1，
即实数a的取值范围是（-1，+∞），
故选：A．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法结合换元法进行转化，结合一元二次函数的最值性质是解决本题的关键．考查学生的转化能力．