Question

6．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AA₁=AC=2BC，∠ACB=90°．
（Ⅰ）求证：AC₁⊥A₁B；
（Ⅱ）求直线AB与平面A₁BC所成角的正切值．

Answer 1

分析 （I）先证BC⊥平面ACC₁A₁得BC⊥AC₁，由四边形ACC₁A₁为正方形得出AC₁⊥A₁C，故而AC₁⊥平面A₁BC，于是AC₁⊥A₁B；
（II）由AC₁⊥平面A₁BC可知∠ABO是直线AB与平面A₁BC所成的角，设BC=a，利用勾股定理求出OA，OB即可得出tan∠ABO．

解答 证明（Ⅰ）∵CC₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴CC₁⊥BC
又∠ACB=90°，即BC⊥AC，又AC∩CC₁=C，
∴BC⊥平面A₁C₁CA，又AC₁?平面A₁C₁CA，
∴AC₁⊥BC．
∵AA₁=AC，∴四边形A₁C₁CA为正方形，
∴AC₁⊥A₁C，又AC₁∩BC=C，
∴AC₁⊥平面A₁BC，又A₁B?平面A₁BC，
∴AC₁⊥A₁B．
解（Ⅱ）设AC₁∩A₁C=O，连接BO．
由（Ⅰ）得AC₁⊥平面A₁BC，
∴∠ABO是直线AB与平面A₁BC所成的角．
设BC=a，则AA₁=AC=2a，∴$AO=\frac{1}{2}A{C_1}=\sqrt{2}a$，$BO=\sqrt{{a^2}+2{a^2}}=\sqrt{3}a$，
在Rt△ABO中，$tan∠ABO=\frac{AO}{BO}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴直线AB与平面A₁BC所成角的正切值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判断与性质，线面角的计算，属于中档题．