Question

18．已知O是△ABC的外心，且AB=5，AC=8，存在非零实数x，y使$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$且x+2y=1，则cos∠BAC=$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 可作出图形，并取AC的中点为D，连接OD，BD，从而有$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+2y\overrightarrow{AD}$，而x+2y=1，从而得出O，D，B三点共线，这样根据O为外心便可得出BD⊥AC，这样在Rt△ABD中即可求出cos∠BAD，即求出cos∠BAC的值．

解答 解：如图，设AC中点为D，则$\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}$；

∴$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+2y\overrightarrow{AD}$；
∵x+2y=1；
∴O，D，B三点共线，连接BO；
∵O是△ABC的外心；
∴OD⊥AC；
∴BD⊥AC，且D为AC的中点；
∴在Rt△ABD中，AB=5，AD=4；
∴$cos∠BAC=cos∠BAD=\frac{4}{5}$．
故答案为：$\frac{4}{5}$．

点评 考查三角形外心的定义，三点A，B，C共线的充要条件：$\overrightarrow{OB}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OC}$，且x+y=1，向量数乘的几何意义，以及三角函数的定义．