Question

17．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且过点A（$\sqrt{6}$，1），点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x²+y²=b²相切于点M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若OP⊥OQ，求点Q的纵坐标的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且过点A（$\sqrt{6}$，1），列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）由圆O的方程为x²+y²=4，设点Q的纵坐标为t，则Q（2，t），当MP⊥x轴时，求出t=-2$\sqrt{2}$；当PM不垂直于x轴时，设直线OP：y=kx（k＞0，x＞0），则直线OQ：y=-$\frac{1}{k}x$，由|OP|•|OQ|=|PQ|•|OM|，能求出点Q的纵坐标的值．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且过点A（$\sqrt{6}$，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{6}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=8，b²=4，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得圆O的方程为x²+y²=4，
①设点Q的纵坐标为t，则Q（2，t），当MP⊥x轴时，
∵点P在椭圆C上，且在第一象限内，∴P（2，$\sqrt{2}$），
∵$\overrightarrow{OQ}•\overrightarrow{OP}=4+\sqrt{2}t=0$，解得t=-2$\sqrt{2}$．
②当PM不垂直于x轴时，设直线OP：y=kx（k＞0，x＞0），
∴直线OQ：y=-$\frac{1}{k}x$，
则P（x₀，kx₀），Q（-tx，t），
在△OPQ中，|OP|•|OQ|=|PQ|•|OM|，
∴$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{k}^{2}{{x}_{0}}^{2}}•\sqrt{{t}^{2}+{k}^{2}{t}^{2}}$=2$\sqrt{（{x}_{0}+tx）^{2}+（k{x}_{0}-t）^{2}}$，
即${{（x}_{0}}^{2}+{k}^{2}{x}_{0}{\;}^{2}）（{t}^{2}+{k}^{2}{t}^{2}）$=4[（x₀+kt）²+（kx₀-t）²]，
${{x}_{0}}^{2}{t}^{2}（1+{k}^{2}）^{2}=4（{{x}_{0}}^{2}+{k}^{2}{t}^{2}+{k{{\;}^{2}x}_{0}}^{2}+{t}^{2}）$，
∴${{x}_{0}}^{2}{t}^{2}（1+{k}^{2}）=4（{{x}_{0}}^{2}+{t}^{2}）$，∴${{x}_{0}}^{2}{t}^{2}+{{x}_{0}}^{2}{k}^{2}{t}^{2}-4{{x}_{0}}^{2}-4{t}^{2}=0$，
又由$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}+\frac{{k}^{2}{{x}_{0}}^{2}}{4}=1$，∴${{x}_{0}}^{2}{t}^{2}+{{x}_{0}}^{2}{k}^{2}{t}^{2}-4{{x}_{0}}^{2}-4{t}^{2}=0$，
又由$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}+\frac{{k}^{2}{{x}_{0}}^{2}}{4}=1$，∴${k}^{2}{{x}_{0}}^{2}=4-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$，
∴${{x}_{0}}^{2}{t}^{2}+（4-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}）{t}^{2}-4{{x}_{0}}^{2}-4{t}^{2}=0$，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}{t}^{2}}{2}-4{{x}_{0}}^{2}$=0，
∴t²=8，解得t=$±2\sqrt{2}$．
∴点Q的纵坐标的值为$±2\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查点的纵坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、直线方程、椭圆和直线的位置关系的合理运用．