Question

2．如图，已知椭圆 C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）左顶点为A₁，右焦点为F₂，过点 F₂作垂直于x轴的直线交椭圆C于M、N两点，直线 A₁M的斜率为$\frac{1}{2}$
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若椭圆C的长轴长为4，点P（1，1），则在椭圆C上是否存在不重合两点D，E，使$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OD}$+$\overrightarrow{OE}$）（O是坐标原点），若存在，求出直线DE的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出M（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），A₁（-a，0），从而$\frac{{b}^{2}}{a}=\frac{1}{2}（a+c）$=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a}$，由此能求出椭圆C的离心率．
（Ⅱ）由e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，2a=4，求出椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，假设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$上存在不重合的两点D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）满足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OD}$+$\overrightarrow{OE}$），则P（1，1）是线段DE的中点，由此利用点差法能求出在椭圆C上存在不重合两点D，E，使$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OD}$+$\overrightarrow{OE}$，并能求出直线DE的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆 C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）左顶点为A₁，右焦点为F₂，
过点 F₂作垂直于x轴的直线交椭圆C于M、N两点，直线 A₁M的斜率为$\frac{1}{2}$，
∴M（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），A₁（-a，0），∴$\frac{{b}^{2}}{a}=\frac{1}{2}（a+c）$=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a}$，
解得a=2c，
∴椭圆C的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，
又2a=4，解得a=2，c=1，∴b²=4-1=3，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
假设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$上存在不重合的两点D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）满足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OD}$+$\overrightarrow{OE}$），
则P（1，1）是线段DE的中点，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=2}\\{{y}_{1}+{y}_{2}=2}\end{array}\right.$，
两式相减，得$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{{x}_{2}）}^{\;}}{4}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{3}$=0，
∴${k}_{DE}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{3}{4}$，
∴直线DE的方程为3x+4y-7=0，
∴在椭圆C上存在不重合两点D，E，使$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OD}$+$\overrightarrow{OE}$），此时直线DE的方程为3x+4y-7=0．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．