Question

7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且${S_n}=2{a_n}-2（n∈{N^*}）$，数列{b_n}的前n项和为T_n，满足${T_n}={n^2}（n∈{N^*}）$．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n•b_n}的前n项和D_n．

Answer 1

分析 （I）利用a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，判断{a_n}为等比数列，再得出通项公式，同理计算{b_n}的通项公式；
（II）使用错位相减法求和．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
所以a_n=2a_n-1，
所以{a_n}为公比为2，首项a₁=2的等比数列，
所以a_n=2ⁿ．
当n=1时，b₁=1，
当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=2n-1，
当n=1时，上式仍成立，
∴b_n=2n-1．
（Ⅱ）a_n•b_n=（2n-1）•2ⁿ，
∴D_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ，
∴2D_n=1×2²+3×2³+5×2⁴+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
两式相减得：-D_n=2+2×2²+2×2³+…+2×2^n-1-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=2+2×$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=（3-2n）2ⁿ⁺¹-6．
∴${D_n}=（2n-3）{2^{n+1}}+6$．

点评 本题考查了数列通项公式的求法，错位相减法数列求和，属于中档题．