Question

1．如图，四棱锥M-ABCD中，底面ABCD为矩形，MD⊥平面ABCD，且MD=DA=1，E为MA中点．
（1）求证：DE⊥MB；
（2）若DC=2，求二面角B-DE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以D为原点距离坐标系，求出$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{BM}$的坐标，可通过计算$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{BM}$=0得出DE⊥BM；
（2）分别求出两平面的法向量，计算法向量 夹角，即可得出二面角的大小．

解答 证明：（1）以D为坐标原点，以DA，DC，DM为坐标轴建立空间直角坐标系D-xyz，如图所示：
设DC=a，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，a，0），M（0，0，1），E（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{BM}$=（-1，-a，1）．
∴$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{BM}$=$\frac{1}{2}×（-1）$+0×（-a）+$\frac{1}{2}×1$=0，
∴DE⊥BM．
（2）当DC=2时，$\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{1}{2}$，-2，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0），
设平面BDE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），平面CDE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{x}_{1}-2{y}_{1}+\frac{1}{2}{z}_{1}=0}\\{\frac{1}{2}{x}_{1}+\frac{1}{2}{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}_{2}+\frac{1}{2}{z}_{2}=0}\\{2{y}_{2}=0}\end{array}\right.$．
令x₁=1得$\overrightarrow{m}$=（1，-$\frac{1}{2}$，-1），令x₂=1得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1）．
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\frac{3}{2}•\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴二面角B-DE-C的余弦值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了二面角的计算，空间向量的应用，属于中档题．