Question

9．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a^x}，x≤1\\{x^2}-6x+7，x＞1\end{array}\right.$（a＞0，a≠1），若函数y=|f（x）|-ax有三个零点，则实数a的取值范围是（6-2$\sqrt{7}$，1）∪（1，2）．

Answer 1

分析 由题意可得函数y=|f（x）|的图象和直线y=ax有3个交点，求得直线y=ax和曲线相切的情况，讨论0＜a＜1和1＜a＜2，a=2，a＞2，画出函数y=|f（x）|的图象，通过图象观察，即可得到所求a的范围．

解答 解：函数y=|f（x）|-ax有三个零点，
即为函数y=|f（x）|的图象和直线y=ax有3个交点，
当0＜a＜1时，画出函数y=|f（x）|的图象，（如右图），
当直线y=ax绕着原点，旋转到与y=-x²+6x-7（2＜x＜4）相切，
设切点为（m，n），可得n=am=-m²+6m-7，
且a=-2m+6，解得m=$\sqrt{7}$，a=6-2$\sqrt{7}$，
由图象可得当0＜a＜6-2$\sqrt{7}$时，函数y=|f（x）|的图象和直线y=ax有5个交点；
当a=6-2$\sqrt{7}$时，函数y=|f（x）|的图象和直线y=ax有4个交点；
当6-2$\sqrt{7}$＜a＜1时，函数y=|f（x）|的图象和直线y=ax有3个交点；
由x=1时，y=|f（1）|=a，如右下图，
当1＜a＜2时，函数y=|f（x）|的图象和直线y=ax有3个交点；
当a=2时，函数y=|f（x）|的图象和直线y=ax有2个交点；
当a＞2时，函数y=|f（x）|的图象和直线y=ax有1个交点．
综上可得，a的取值范围是（6-2$\sqrt{7}$，1）∪（1，2）．
故答案为：（6-2$\sqrt{7}$，1）∪（1，2）．

点评 本题考查函数零点的个数问题的解法，注意运用数形结合的思想方法，以及转化思想，转化为直线和曲线的交点是解题的关键，属于难题．