Question

11．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-alnx（a∈R）．
（1）试讨论函数的单调性；
（2）若函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=x-$\frac{a}{x}$，分别讨论①a≤0时，②a＞0时的情况，从而求出单调区间．
（2）函数f（x）在（1，+∞）上是增函数?f′（x）=x-$\frac{a}{x}$≥0在（1，+∞）上恒成立?a≤（x²）_min在（1，+∞）上恒成立，求出函数y=x²的最小值即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=x-$\frac{a}{x}$，
①a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，
②a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{a}$，x＜-$\sqrt{a}$（舍），
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\sqrt{a}$，
∴f（x）在（0，$\sqrt{a}$）递减，在（$\sqrt{a}$，+∞）递增．
（2）函数f（x）在（1，+∞）上是增函数?f′（x）=x-$\frac{a}{x}$≥0在（1，+∞）上恒成立?a≤（x²）_min在（1，+∞）上恒成立．
∵函数y=x²在（1，+∞）上满足y＞1．
∴a≤1．

点评 本题考查函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、恒成立问题的等价转化等是解题的关键．