Question

2．已知$\overrightarrow a$=（cosα，sinα），$\overrightarrow b$=（cosβ，sinβ），|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow b$|=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
（1）求cos（α-β）的值  
（2）若0＜α＜$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{2}$＜β＜0，cosβ=$\frac{12}{13}$，求sinα．

Answer 1

分析 （1）利用两个向量坐标形式的运算，两角差的余弦公式求得cos（α-β）的值．
（2）由条件求得 sin（α-β）、sinβ的值，再根据sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ 计算求得结果．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a$=（cosα，sinα），$\overrightarrow b$=（cosβ，sinβ），
|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow b$|=$\sqrt{{（cosα-cosβ）}^{2}{+（sinα-sinβ）}^{2}}$=$\sqrt{2-2cos（α-β）}$=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
∴cos（α-β）=$\frac{3}{5}$．
（2）由（1）得$cos（α-β）=\frac{3}{5}$，$\begin{array}{l}∵0＜α＜\frac{π}{2}，-\frac{π}{2}＜β＜0$，
∴$0＜α-β＜π\\∴sin（α-β）=\frac{4}{5}…（7分）\\∵cosβ=\frac{12}{13}，-\frac{π}{2}＜β＜0$，∴sin（α-β）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α-β）}$=$\frac{4}{5}$，
又∵cosβ=$\frac{12}{13}$，∴sinβ=-$\sqrt{{1-cos}^{2}β}$=-$\frac{5}{13}$．
∴sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ
=$\frac{4}{5}•\frac{12}{13}$+$\frac{3}{5}•（-\frac{5}{13}）$=$\frac{33}{65}$．

点评 本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两角差的余弦公式，同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于中档题．