Question

17．一款底面为正方形的长方体无盖金属容器（忽略其厚度），如图所示，当其容积为500cm³时，问容器的底面边长为多少时，所使用材料最省？

Answer 1

分析 设底面边长为xcm，高为ycm，根据体积公式用x表示出y，代入表面积公式得出表面积S关于x的函数，利用导数求出此函数的极小值点即可．

解答 解：设长方体底面边长为xcm，高为ycm，
则x²y=500，∴y=$\frac{500}{{x}^{2}}$．
∴长方体的表面积（不包括上底面）为S（x）=x²+4xy=x²+$\frac{2000}{x}$，
∴S′（x）=2x-$\frac{2000}{{x}^{2}}$=$\frac{2（{x}^{3}-1000）}{{x}^{2}}$，
令S′（x）=0得x=10，
当0＜x＜10时，S′（x）＜0，当x＞10时，S′（x）＞0，
∴S（x）在（1，10]上单调递减，在（10，+∞）上单调递增，
∴当x=10时，S（x）取得最小值．
  答：当容器底面边长为10cm时，所使用材料最省．

点评 本题考查了导数与函数最值的关系，函数最值的应用，属于中档题．