Question

7．某城市号召中学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该城市某学校学生会共有12名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．
（Ⅰ）从学生会中任意选两名学生组成一个小组，若这两人参加活动次数恰好相等，则称该小组为“和谐小组”，求任选该校两名学生会成员组成的小组是“和谐小组”的概率；
（Ⅱ）用样本估计总体，从该城市的中学生中任选4个小组（每小组两人），求这4个小组中“和谐小组”的组数X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设“该校两名学生会成员组成的小组是‘和谐小组’”为事件A，利用互斥事件概率加法公式能求出任选该校两名学生会成员组成的小组是“和谐小组”的概率．
（Ⅱ）由$X～B（4，\frac{1}{3}）$，能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）设“该校两名学生会成员组成的小组是‘和谐小组’”为事件A，
则任选该校两名学生会成员组成的小组是“和谐小组”的概率P（A）=$\frac{C_2^2+C_6^2+C_4^2}{{C_{12}^2}}=\frac{1}{3}$
（Ⅱ）∵$X～B（4，\frac{1}{3}）$，∴$P（X=k）=C_4^k•{（{\frac{1}{3}}）^k}•{（{\frac{2}{3}}）^{4-k}}（k=0，1，2，3，4）$，
P（X=0）=${C}_{4}^{0}（\frac{2}{3}）^{4}$=$\frac{16}{81}$，
P（X=1）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{32}{81}$，
P（X=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{8}{27}$，
P（X=3）=${C}_{4}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}（\frac{2}{3}）$=$\frac{8}{81}$，
P（X=4）=${C}_{4}^{4}（\frac{1}{3}）^{4}$=$\frac{1}{81}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{16}{81}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{8}{27}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{1}{81}$

∵由$X～B（4，\frac{1}{3}）$，∴EX=4×$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．